Sezioni in c.a. di forma qualsiasi: verifiche SLU e SLE secondo NTC 2018

01 — Introduzione Che cosa si verifica, e su quali sezioni

Il pilastro di un edificio a telaio, la pila di un viadotto, la trave di un impalcato gettato in opera: sono elementi diversi, ma la loro sezione in c.a. si verifica con le stesse ipotesi e con gli stessi strumenti. La sezione più frequente resta il rettangolo, che ha soluzioni in forma chiusa e si controlla anche a mano. Nei progetti però compaiono presto altre forme: la pila è un rettangolo cavo, il nucleo di un vano scala una C, il pilastro d’angolo una L, e la trave che lavora con la sua soletta una T, compressa in campata e tesa sull’appoggio.

Fig. 1 — Le sezioni di questo articolo
dal pilastro rettangolare alle forme generiche

Le verifiche da fare sono sempre le stesse, e la norma le scrive per una sezione qualsiasi:

• SLU: il dominio di resistenza N-M, in flessione retta e in flessione deviata, e per ogni combinazione il fattore di sicurezza;
• SLV: per le strutture dissipative lo stesso dominio a rottura; per quelle che devono restare in campo sostanzialmente elastico — ponti non dissipativi, sottostrutture di opere isolate — il dominio di prima plasticizzazione, che è più piccolo;
• duttilità: il diagramma momento-curvatura e la duttilità in curvatura μ_φ, dove la norma la richiede;
• SLE: le tensioni in combinazione caratteristica (rara) e quasi permanente, e l’apertura delle fessure in combinazione frequente e quasi permanente.

Dopo il quadro normativo (capitolo 2) e una presentazione di VCA-SLU (capitolo 3), l’articolo le ripercorre su quattro casi studio numerici:

1. Un pilastro rettangolare 40 × 60 al piede di un edificio a telaio: domini SLU e SLV con dieci combinazioni, momento di prima plasticizzazione e duttilità in curvatura.
2. Una validazione incrociata su dieci sezioni, dal rettangolo alla scatolare col foro fuori centro: gli stessi conti, fatti con due programmi indipendenti.
3. La pila cava di un viadotto isolato: flessione deviata, combinazioni SLU e SLV, e il dominio in campo sostanzialmente elastico che la pila deve rispettare.
4. Una trave a T con la soletta collaborante: tensioni e apertura delle fessure in esercizio, in campata e sull’appoggio.

I casi sono svolti con Sezioni generiche in c.a., il programma di AMetric Toolbox per le sezioni in c.a. di qualsiasi forma, rettangolo compreso, e confrontati con VCA-SLU del prof. Piero Gelfi, il programma che una generazione di ingegneri italiani ha usato per imparare e per lavorare. Per le sole sezioni rettangolari, con anche il taglio, c’è Sezioni rettangolari in c.a., gratuito nello stesso Toolbox.

02 — Il quadro normativo Ipotesi, domini e limiti che contano

Le ipotesi di calcolo allo SLU

Il §4.1.2.3.4.1 delle NTC 2018 fissa le ipotesi per la resistenza a flessione con e senza sforzo normale: conservazione delle sezioni piane, perfetta aderenza fra acciaio e calcestruzzo, resistenza a trazione del calcestruzzo nulla. Nessuna di queste dipende dalla forma della sezione. Per il calcestruzzo la resistenza di progetto a compressione è:

e il legame più usato è la parabola-rettangolo del §4.1.2.1.2.1:

Per l’acciaio il §4.1.2.1.2.2 ammette due diagrammi bilineari: il bilineare finito con incrudimento e l’elastico-perfettamente plastico indefinito. Con il secondo, per il B450C:

Fig. 2 — Sezioni generiche in c.a.
i legami costitutivi di progetto nella scheda «Materiali»

Il dominio di rottura e il pivot C

Ogni punto del dominio N-M corrisponde a una deformata limite: un piano di deformazione che porta almeno un materiale al suo limite. Le deformate si ordinano in tre famiglie, che ruotano attorno a tre punti fissi. Con la sezione molto tesa ruotano attorno alla barra più tesa a ε_ud (pivot A); quando il calcestruzzo arriva a rottura ruotano attorno al lembo compresso a ε_cu (pivot B); quando la sezione è tutta compressa ruotano attorno a una fibra interna che resta a ε_c2 (pivot C).

Il pivot C viene da una regola del §4.1.2.1.2.1 delle NTC 2018: «Per sezioni o parti di sezioni soggette a distribuzioni di tensione di compressione approssimativamente uniformi, si assume per la deformazione ultima di progetto il valore ε_c2 anziché ε_cu». Finché l’asse neutro taglia la sezione, il limite è ε_ud nell’acciaio teso o ε_cu al lembo compresso; quando ne esce, la deformata limite passa gradualmente da quella con ε_cu al lembo compresso e zero al lembo opposto alla compressione uniforme a ε_c2, e tutte le rette intermedie passano per lo stesso punto. Le NTC non ne danno la posizione, che è disegnata nella figura 6.1 dell’Eurocodice 2:

Fig. 3 — Le deformate limite allo SLU
le tre famiglie e i loro pivot

La flessione deviata

Con due componenti di momento il dominio diventa una superficie nello spazio N-M_x-M_y. La verifica si fa sulla sua sezione a sforzo normale costante N = N_Ed: una curva chiusa nel piano M_x-M_y. Il fattore di sicurezza è il rapporto fra la distanza dall’origine del bordo e quella dell’azione, lungo la semiretta che passa per l’azione.

Le NTC ammettono anche una verifica semplificata, che combina le due flessioni rette:

Sezioni generiche in c.a. non usa questa formula semplificata, nemmeno per le sezioni rettangolari. Costruisce il dominio tridimensionale N-M_x-M_y e verifica ogni combinazione sulla sua sezione M_x-M_y allo sforzo normale della combinazione: il fattore di sicurezza è quello esatto, letto sul bordo nella direzione dell’azione, per qualunque forma della sezione.

Lo SLV: a rottura o in campo sostanzialmente elastico

Per le strutture dissipative il dominio SLV è quello a rottura: cambiano le azioni, non le resistenze. Per quelle a comportamento non dissipativo il §7.4.1 chiede che «in nessuna sezione si superi il momento resistente massimo in campo sostanzialmente elastico», definito al §4.1.2.3.4.2. Il momento resistente M’_yd va calcolato alla curvatura di prima plasticizzazione φ’_yd, cioè quando si raggiunge lo snervamento dell’acciaio teso, ε_s = ε_yd, oppure la deformazione del calcestruzzo compresso ε_c = ε_c2:

M’_yd, dice il §4.1.2.3.4.2, «può essere assunto come momento resistente massimo della sezione in campo sostanzialmente elastico». La figura C4.1.12 della Circolare riassume le grandezze sul diagramma momento-curvatura: M’_yd è il ginocchio della curva, M_Rd il suo massimo, e la curvatura convenzionale φ_yd = φ’_yd·M_Rd/M’_yd è quella della bilineare equivalente, che serve per la duttilità in curvatura μ_φ.

Fig. 4 — Circolare 2019, figura C4.1.12
relazione momento-curvatura e duttilità in curvatura

In SLV, per le strutture a comportamento non dissipativo, il requisito di mantenere la sezione in campo «sostanzialmente elastico» può ridurre in modo significativo i valori di resistenza in alcune aree del dominio N-M. La differenza rispetto al calcolo a rottura è evidente quando le barre non sono tutte alla stessa distanza dall’asse neutro: le più lontane snervano per prime, mentre le altre lavorano ancora sotto f_yd, ed è a quella curvatura che ci si deve fermare.

Nella pila cava del caso 3, con le barre distribuite su tutto il perimetro, M’_yd è il 78 % di M_Rd a sforzo normale nullo e l’85 % a N = 9100 kN, lo sforzo normale delle combinazioni sismiche; attorno al massimo del dominio, verso N = 20 000 kN, sale al 94 %, e in trazione scende sotto il 70 %. Il dominio di prima plasticizzazione non è nemmeno convesso: verificare una pila che deve restare elastica con il dominio a rottura significa contare su un margine che non c’è.

Fig. 5 — Sezioni generiche in c.a.
pila cava: dominio N-M in campo sostanzialmente elastico

Le verifiche in esercizio

Le tensioni si calcolano col metodo n, sezione fessurata e calcestruzzo non reagente a trazione, e si confrontano con i limiti del §4.1.2.2.5: σ_c ≤ 0,60·f_ck in combinazione caratteristica, σ_c ≤ 0,45·f_ck in quasi permanente, σ_s ≤ 0,80·f_yk per l’acciaio. Il limite dell’acciaio, nel §4.1.2.2.5.2, è scritto per la sola combinazione caratteristica.

AMetric Toolbox assume che σ_s ≤ 0,80·f_yk valga non soltanto in combinazione caratteristica (rara), ma anche in combinazione frequente e quasi permanente, sebbene la norma non lo esplichi. Le ragioni sono due. I carichi di quelle combinazioni non superano quelli della caratteristica, quindi una sezione che rispetta il limite in rara lo rispetta anche nelle altre due, e il controllo non toglie nulla a una verifica corretta. E le formule della fessurazione presuppongono l’acciaio in campo elastico: senza un limite di tensione, il dominio SLE costruito sul solo w_k arriverebbe con l’acciaio oltre lo snervamento. In combinazione frequente il software applica per lo stesso motivo anche il limite σ_c ≤ 0,60·f_ck della caratteristica.

L’apertura delle fessure si confronta con i valori w₁, w₂, w₃ (0,2 · 0,3 · 0,4 mm) della Tab. 4.1.IV, scelti secondo le condizioni ambientali e la combinazione, e si calcola con le formule della Circolare 2019:

Le formule sono scritte pensando a un rettangolo con uno strato teso e l’asse neutro orizzontale. Su una sezione qualsiasi bisogna decidere che cosa siano h, d e A_c,eff quando la zona tesa è un’ala larga 1,6 m o quando l’asse neutro è inclinato. AMetric Toolbox misura tutte le lunghezze perpendicolarmente all’asse neutro, costruisce A_c,eff come la striscia di altezza h_c,eff dal lembo teso intersecata con la sezione, e mostra la striscia sul disegno: chi verifica vede che cosa è stato calcolato.

03 — VCA-SLU Lo standard di fatto

VCA-SLU — Verifica Cemento Armato Stato Limite Ultimo, spesso scritto VcaSlu — è il programma del prof. Piero Gelfi dell’Università di Brescia. Le note di versione partono dalla 3.4 del 2000, e da allora il programma è cresciuto insieme alla norma: la verifica a momento negativo e le sezioni di sole barre nella 4, il progetto della sezione rettangolare nella 5, la precompressione e il taglio secondo l’Eurocodice 2 nella 6, le NTC 2008 e il modulo per i pilastri in zona sismica nella 7.1. La 7.8, del novembre 2021, ha portato i riferimenti alle NTC 2018, il diagramma momento-curvatura con la duttilità, le strutture esistenti con i fattori di confidenza e l’import da DXF. È gratuito, e si scarica dalla pagina dei programmi per gli studenti insieme alla guida.

Lo conoscono quasi tutti gli strutturisti italiani, e non per caso:

• descrive la sezione per rettangoli, trapezi, coordinate dei vertici (anche con fori), come cerchio pieno o cavo o come poligono regolare;
• calcola M_Rd a N_Ed assegnato in flessione retta e deviata, il dominio M-N e il dominio M_x-M_y a sforzo normale assegnato, con il rapporto ρ_M fra azione e resistenza;
• applica il pivot C e integra la sezione per rettangolini, con una precisione che si regola dal numero di strisce;
• ha il metodo n per le tensioni di esercizio, con la sezione parzializzata e le sue caratteristiche statiche;
• tratta la precompressione, il calcestruzzo reagente a trazione, le sezioni di sole barre (una palificata, un giunto di base con tirafondi);
• fa il momento-curvatura con la duttilità e la verifica di stabilità col metodo della colonna modello.

È un programma scritto da un docente per insegnare: l’interfaccia è una sola finestra con tutto a vista, i risultati riportano il tipo di rottura, x/d e le deformazioni, la guida spiega il metodo. Molti di noi hanno imparato il dominio M-N con VCA-SLU aperto accanto al libro.

Fig. 6 — VCA-SLU 7.8
la pila cava del caso 3 con «Calcola MRd» a N = 9100 kN

La 7.8 è l’ultima versione pubblicata, e la pagina stessa avverte che il sito non è più gestito dall’autore. Il programma resta corretto: i numeri dei capitoli che seguono lo dimostrano. Quello che è cambiato, in vent’anni, è il modo di lavorare in studio. Le combinazioni arrivano a decine o a centinaia da un modello a elementi finiti e si vogliono verificare tutte insieme; la Circolare 2019 ha portato le verifiche di fessurazione su sezioni che non sono rettangoli. In esercizio VCA-SLU si limita al calcolo delle tensioni di una singola combinazione: non svolge le verifiche di fessurazione e non costruisce i domini SLE. Sono queste le cose su cui è costruito Sezioni generiche in c.a., ed è su queste che il confronto è utile.

04 — Caso 1 Un pilastro rettangolare: domini SLU e SLV, duttilità

Il primo caso è la sezione più comune: un pilastro rettangolare al piede di un edificio a telaio in c.a., progettato in classe di duttilità «B». La struttura è dissipativa, quindi allo SLV vale lo stesso dominio a rottura dello SLU: cambiano le azioni, non le resistenze. È il contrario della pila del caso 3, che deve restare elastica.

Pilastro 40 × 60 — dati

Sezione (h nel piano del telaio)	400 × 600 mm
Calcestruzzo · acciaio	C25/30 (fcd = 14,11 MPa) · B450C
Armatura	10ϕ20 sul perimetro, asse a 50 mm dal bordo
As · ρ	3142 mm² · 1,31 %
Combinazioni	4 SLU + 6 SLV, flessione retta (Mx)

In AMetric Toolbox la sezione è la sagoma «Rettangolare» con un solo generatore di armatura, «perimetro», che posa le dieci barre con una barra per spigolo. Le combinazioni si incollano da Excel in due tabelle, SLU e SLV, e il software le verifica tutte insieme: per ciascuna dà M_Rd allo stesso sforzo normale e il fattore di sicurezza.

Fig. 7 — Sezioni generiche in c.a.
pilastro 40 × 60: la sezione nella scheda «Geometria»

Le quattro combinazioni SLU hanno fattori di sicurezza fra 3,21 e 7,34. Allo SLV governa la SLV_05, con FS = 1,29 (fig. 9). Lo sforzo normale oscilla con l’azione sismica fra 820 e 1350 kN, e il momento resistente varia da 420,6 a 445,5 kNm. Per questo una verifica fatta al solo sforzo normale massimo, o al minimo, non basta, e conviene verificare tutte le combinazioni ciascuna al suo N.

Fig. 8 — Sezioni generiche in c.a.
pilastro 40 × 60: dominio N-M allo SLV

Fig. 9 — Sezioni generiche in c.a.
pilastro 40 × 60: verifica delle combinazioni SLV

Lo stesso pilastro in VCA-SLU

La sezione esportata con «Esporta in VCA-SLU…» dà in VCA-SLU gli stessi momenti resistenti, al decimo di kNm:

Pilastro 40 × 60 — M_Rd a N assegnato

N [kN]	MRd VCA-SLU [kNm]	MRd AMetric Toolbox [kNm]
0	309,9	309,9
820	420,6	420,6
1050	437,1	437,1
1350	445,5	445,5
1850	444,6	444,6

Fig. 10 — VCA-SLU 7.8
il pilastro: finestra «Dominio M-N» con la SLV_05

Il momento-curvatura e la duttilità

Allo sforzo normale medio delle combinazioni sismiche, N = 1050 kN (ν = N/(A_c·f_cd) = 0,31), il diagramma momento-curvatura dà la prima plasticizzazione a M’_yd = 391,8 kNm, con φ’_yd = 0,00688 1/m, e la rottura lato calcestruzzo a M_Rd = 437,1 kNm, con φ_u = 0,0134 1/m. La duttilità in curvatura è:

Fig. 11 — Sezioni generiche in c.a.
pilastro 40 × 60, momento-curvatura a N = 1050 kN

Fig. 12 — VCA-SLU 7.8
il pilastro: finestra «Momento - Curvatura» a N = 1050 kN

Una duttilità di 1,75 è bassa, ed è quella che ci si deve aspettare: con il calcestruzzo non confinato, ε_cu = 3,5 ‰, e uno sforzo normale del 30 % della compressione semplice, la rottura arriva dal lato compresso poco dopo lo snervamento dell’acciaio. È la ragione per cui, nelle zone dissipative allo spiccato dei pilastri, il §7.4.6.2.2 chiede la verifica di duttilità del §7.4.4.2.2 oppure un’armatura di confinamento proporzionata alla duttilità richiesta, con la [7.4.29], e il §7.4.1 consente di tener conto del confinamento nel valutare la capacità. AMetric Toolbox calcola la sezione con il calcestruzzo non confinato: il valore di μ_φ che fornisce è quello di partenza, senza il contributo delle staffe.

05 — Caso 2 Validazione incrociata: gli stessi numeri, sezione per sezione

Sul pilastro i due programmi danno gli stessi numeri, ma un caso solo non basta: prima di mostrare che cosa fa di diverso, un programma deve dimostrare di fare bene le stesse cose su sezioni difficili. Abbiamo preso dieci sezioni scelte per mettere in difficoltà un calcolo — rettangoli, un cerchio, una T, una T rovescia, una T senza barre nell’ala, una L, un trapezio con barre asimmetriche, una scatolare con il foro fuori centro e un rettangolo con le barre a 15 mm dal lembo — e le abbiamo calcolate con tutti e due i programmi, con gli stessi materiali e con 2000 strisce di integrazione in VCA-SLU. VCA-SLU è stato pilotato da uno script, per confrontare migliaia di valori senza trascriverli a mano.

Fig. 13 — Sezioni generiche in c.a.
le dieci sezioni della validazione

Confronto sezioni generiche in c.a. ↔ VCA-SLU 7.8 — sintesi

Grandezza	Confronti	Scarto massimo
Area, baricentro e inerzie della sezione	10 sezioni	coincidono
MRd a N assegnato, nei due versi («Calcola MRd»)	320	0,074 %
Dominio Mx-My a N costante	34 livelli di N	0,26 %
Diagramma momento-curvatura	52 curve	0,4 %
M’yd di prima plasticizzazione	2 versi × 7 livelli	0,06 %
Tensioni col metodo n (σc, σs, x)	108 azioni	alla 4ª cifra

Gli scarti sono riferiti al massimo momento del dominio della sezione, e stanno tutti dentro le quattro cifre significative con cui VCA-SLU mostra i risultati. Gli scarti maggiori del momento-curvatura sono vicini alla compressione semplice, nella zona del pivot C, dove la curva è più ripida.

Il caso più istruttivo è la scatolare: 600 × 800 in C30/37, foro 300 × 350 spostato verso l’alto, ϕ20 a passo 200 sul contorno e ϕ14 a passo 250 attorno al foro. Il baricentro del calcestruzzo non sta a metà altezza ma a 393 mm dal basso, e i momenti resistenti positivo e negativo sono diversi: un errore sul polo dei momenti o sul trattamento del foro si vedrebbe subito.

Scatolare con foro fuori centro — M_Rd a N assegnato

N [kN]	MRd+ VCA-SLU [kNm]	MRd+ AMetric [kNm]	MRd− VCA-SLU [kNm]	MRd− AMetric [kNm]
0	656,0	656,0	−682,2	−682,2
848	868,8	868,8	−870,2	−870,2
2121	1090	1090,3	−1076	−1075,9
3393	1125	1124,7	−1132	−1132,4
4666	970,3	970,5	−978,9	−979,1
5938	727,5	727,7	−720,2	−720,5
7211	386,1	386,4	−357,3	−357,5

Una prova che si legge senza tabelle: abbiamo messo come azioni, nella scheda N-M di AMetric Toolbox, i momenti resistenti di VCA-SLU della tabella qui sopra, così come li dà VCA-SLU, nelle combinazioni SLU_01…SLU_14. Se i due domini coincidono, ogni punto deve cadere sul bordo, con FS = 1,00. È quello che succede, su tutte e quattordici le righe, nei due versi.

L’esito, invece, passa da «Verificata» a «NON verificata» da una riga all’altra, ed è giusto così. VCA-SLU riporta il momento con quattro cifre significative (1125 kNm), AMetric Toolbox con un decimale (1124,6 kNm nella fig. 15): per un punto che sta esattamente sul bordo basta un decimo di kNm per cadere dall’una o dall’altra parte.

Fig. 14 — Sezioni generiche in c.a.
scatolare con foro fuori centro: dominio N-M allo SLU

Fig. 15 — Sezioni generiche in c.a.
la verifica dei momenti resistenti di VCA-SLU

Fig. 16 — VCA-SLU 7.8
la stessa scatolare: finestra «Dominio M-N»

Lo stesso vale per il momento-curvatura. A N = 0 i due programmi danno il momento di prima plasticizzazione M’_yd = 444,8 kNm e il momento ultimo M_Rd = 656,0 kNm; la duttilità in curvatura è μ_φ = 5,32.

Fig. 17 — Sezioni generiche in c.a.
scatolare, momento-curvatura a N = 0

Fig. 18 — VCA-SLU 7.8
la stessa scatolare: finestra «Momento - Curvatura»

Anche le tensioni in esercizio coincidono. Alcune delle azioni di confronto, sempre sulla scatolare, con n = 15:

Scatolare — metodo n, VCA-SLU / AMetric (σ in MPa, trazione positiva)

N [kN]	Mx [kNm]	My [kNm]	σc	σs	x [mm]
0	326,0	0	−7,612 / −7,612	288,0 / 288,03	212,9 / 212,9
0	−341,0	0	−7,833 / −7,833	288,0 / 288,02	217,3 / 217,3
1691,1	294,7	294,7	−14,74 / −14,74	106,8 / 106,81	577,7 / 577,7
0	156,4	−208,5	−10,76 / −10,755	288,0 / 287,95	288,6 / 288,6
0	0	297,2	−8,045 / −8,045	288,0 / 288,04	163,6 / 163,6

Il confronto completo con la sezione rettangolare è anche nella documentazione di Sezioni rettangolari in c.a..

06 — Caso 3 La pila cava di un viadotto isolato

Il terzo caso è una pila da ponte a sezione rettangolare cava. L’impalcato poggia su isolatori elastomerici, e per il §7.10.2 la pila, che è sottostruttura, deve restare in campo sostanzialmente elastico sotto il sisma di progetto. È il caso tipico in cui la scelta del dominio SLV cambia l’esito. Se vuoi approfondire la progettazione delle strutture isolate, consulta l’articolo sugli isolatori HDRB.

Pila cava — dati

Sezione	3000 × 1800 mm, pareti da 300 mm
Area del calcestruzzo Ac	2,52 m²
Calcestruzzo · acciaio	C32/40 (fcd = 18,81 MPa) · B450C
Armatura esterna	ϕ24 / 150 sul perimetro, asse a 60 mm dal bordo
Armatura interna	ϕ16 / 200 attorno al foro, asse a 50 mm
Totale	96 barre, As = 34 382 mm², ρ = 1,36 %
Combinazioni	6 SLU + 8 SLV, in flessione deviata

La sezione si descrive con un poligono e un foro, e l’armatura con due generatori «perimetro»: uno sul contorno, uno sul foro. Le 96 barre le posa il software, con una barra su ogni spigolo; cambiare il passo o il copriferro significa cambiare un numero, non 96 coppie di coordinate.

Fig. 19 — Sezioni generiche in c.a.
la pila cava: poligono con foro e due generatori di armatura

Le azioni

Le azioni alla base della pila sono state costruite per un viadotto ordinario: permanenti N_G ≈ 8500 kN, traffico fino a 3000 kN. Allo SLU contano il traffico eccentrico, la frenatura e il vento; allo SLV, con N = G + ψ₂Q = 9100 kN, le azioni trasmesse dagli isolatori, combinate al 100 % + 30 % (§7.3.5) nei quattro versi. M_x piega la pila nel piano longitudinale (lato da 1800), M_y in quello trasversale (lato da 3000).

Pila cava — combinazioni e fattori di sicurezza

Comb.	NEd [kN]	Mx,Ed [kNm]	My,Ed [kNm]	FS rottura	FS elastico
SLU_01	15 500	4 000	10 500	2,46	—
SLU_02	15 500	6 800	6 000	2,53	—
SLU_03	11 500	2 000	9 000	3,05	—
SLU_04	12 800	6 800	3 500	2,72	—
SLU_05	11 500	1 000	12 000	2,46	—
SLU_06	15 500	1 500	2 000	9,76	—
SLV_01	9 100	±13 000	±4 500	1,33	1,04
SLV_02	9 100	±3 900	±15 000	1,69	1,27

Le combinazioni SLV sono otto, ma sezione e armatura sono simmetriche rispetto a entrambi gli assi: i quattro versi di ciascuna danno lo stesso fattore di sicurezza, e in tabella sono raccolti in due righe. Le quattordici combinazioni si incollano da Excel nelle due tabelle SLU e SLV della scheda, e il software le verifica tutte insieme.

Il dominio SLV: a rottura o elastico

Allo SLU la pila ha margini ampi: il fattore di sicurezza minimo è 2,46. Allo SLV la combinazione SLV_01 avrebbe un margine del 33 % sul dominio a rottura, ma la pila deve restare elastica, e sul dominio di prima plasticizzazione il margine scende al 4 %. Letto in flessione retta, a N = 9100 kN:

Pila cava — resistenze a N = 9100 kN [kNm]

Direzione	MRd	M’yd	M’yd/MRd
Mx (longitudinale)	17 719	15 062	0,85
My (trasversale)	28 295	22 646	0,80

Fig. 20 — Sezioni generiche in c.a.
pila cava: dominio M_x-M_y a N = 9100 kN

Il dominio M_x-M_y della fig. 20 è una fetta di un dominio più grande. La scheda «N-Mx-My (deviata)» di AMetric Toolbox costruisce il dominio di resistenza come una superficie chiusa nello spazio N-M_x-M_y, un guscio che va dalla trazione semplice alla compressione semplice, e lo disegna in 3D insieme alle combinazioni. Ogni combinazione si verifica sulla fetta del guscio al proprio N_Ed: quando lo sforzo normale cambia da una combinazione all’altra, non c’è un dominio da ricostruire a mano per ciascuna. È una delle cose che VCA-SLU non fa: il suo dominio M_x-M_y si costruisce per un valore di N alla volta.

Fig. 21 — Sezioni generiche in c.a.
pila cava: dominio N-M_x-M_y in 3D

Con la casella «Campo sostanzialmente elastico» il guscio passa da quello a rottura a quello di prima plasticizzazione, e la tabella riporta, per ogni combinazione, i momenti M’_x,yd e M’_y,yd del bordo nella direzione dell’azione.

Fig. 22 — Sezioni generiche in c.a.
verifica delle combinazioni SLV in campo sostanzialmente elastico

La stessa combinazione in VCA-SLU

In VCA-SLU la combinazione si verifica in flessione deviata: si scrivono N_Ed, M_xEd e M_yEd, si apre il dominio M_x-M_y e il programma riporta ρ_M, il rapporto fra l’azione e il bordo nella sua direzione. Per la SLV_01, ρ_M = 0,756, cioè FS = 1/0,756 = 1,323: lo stesso 1,33 che AMetric Toolbox legge sul dominio a rottura. Il momento di prima plasticizzazione in flessione retta si legge dal diagramma momento-curvatura: 15 062 kNm, lo stesso valore di AMetric Toolbox.

Fig. 23 — VCA-SLU 7.8
dominio M_x-M_y della pila a N = 9100 kN, combinazione SLV_01

I numeri coincidono; cambia il flusso di lavoro. In VCA-SLU si verifica una combinazione alla volta, ciascuna col suo N_Ed, e il dominio M_x-M_y è quello a rottura: la verifica in campo elastico in flessione deviata andrebbe costruita a parte. Con le centinaia di combinazioni che escono da un modello a elementi finiti, conviene verificarle tutte insieme.

07 — Caso 4 La trave a T in esercizio: tensioni e fessure

Il quarto caso è una trave a T di un impalcato gettato in opera, con la soletta collaborante. La stessa sezione lavora in due modi opposti: in campata la soletta è compressa e le barre tese sono in fondo all’anima; sull’appoggio la soletta è tesa, l’armatura che fessura è quella distribuita nella soletta, e a comprimersi è l’anima, larga solo 40 cm.

Trave a T — dati

Sezione	ala 1600 × 200, anima 400, h = 700 mm
Calcestruzzo · acciaio	C30/37 (fck = 30,7 MPa) · B450C
Armatura inferiore	5ϕ24 + 3ϕ20 in seconda fila (3204 mm²)
Armatura nella soletta	13ϕ16 a passo 120 (2614 mm²)
MRd+ · MRd− (N = 0)	761,8 · −632,9 kNm
Condizioni ambientali · wlim (freq. · q.p.)	aggressive · 0,3 · 0,2 mm
Coefficiente di omogeneizzazione	n = 15

Combinazione caratteristica: le tensioni

Trave a T — combinazione rara, VCA-SLU / AMetric

Sezione	M [kNm]	σc [MPa]	σs [MPa]	x [mm]	FS
Campata	460	−5,268 / −5,27	255,3 / 255,3	153,2 / 153,2	1,41
Appoggio	−470	−10,43 / −10,43	307,7 / 307,7	220,5 / 220,5	1,17

I limiti sono 0,60·f_ck = 18,43 MPa e 0,80·f_yk = 360 MPa, e in tutte e due le sezioni governa l’acciaio (FS in tabella). I due programmi coincidono alla quarta cifra, e qui VCA-SLU fa esattamente quello che serve.

Fig. 24 — VCA-SLU 7.8
la trave a T sull’appoggio col metodo n

Combinazioni frequente e quasi permanente: le fessure

Qui i due programmi si separano. VCA-SLU si limita al calcolo delle tensioni di una singola combinazione: non svolge le verifiche di fessurazione e non costruisce i domini SLE. AMetric Toolbox calcola l’apertura delle fessure su qualsiasi forma, anche in flessione deviata, con il w_lim letto dalle condizioni ambientali e k_t scelto per combinazione.

Trave a T — apertura delle fessure

Combinazione · sezione	M [kNm]	σs [MPa]	wk [mm]	wlim [mm]	FSw
Frequente · campata	380	210,9	0,169	0,3	1,78
Frequente · appoggio	−390	255,3	0,234	0,3	1,28
Quasi perm. · campata	310	172,1	0,145	0,2	1,38
Quasi perm. · appoggio	−320	209,5	0,192	0,2	1,04

Governa l’appoggio in quasi permanente. Il calcolo, passo per passo, con i valori che il software riporta sotto il disegno:

Appoggio, quasi permanente — w_k secondo la Circolare C4.1.2.2.4.5

Asse neutro x · altezza h	220,5 mm · 700 mm
h − d (barre ϕ16 nella soletta)	46 mm
hc,eff = min{2,5·46; (700−220,5)/3; 350}	min{115; 159,8; 350} = 115 mm
Ac,eff = 1600 × 115	184 000 mm²
ρeff = 2614 / 184 000	1,42 %
αe = Es/Ecm = 210 000 / 33 019	6,36
εsm = [209,5 − 0,4·2,94/0,0142·(1 + 6,36·0,0142)] / 210 000	0,567 ‰ → minimo 0,6·σs/Es = 0,599 ‰
Δsm = (3,4·38 + 0,8·0,5·0,425·16/0,0142) / 1,7	188,6 mm
wk = 1,7 · 0,000599 · 188,6	0,192 mm ≤ 0,2 mm ✓

Due dettagli che su una T contano. Primo: all’appoggio l’area efficace è tutta la larghezza dell’ala, perché le tredici barre a passo 120 la coprono interamente; in campata è la sola anima, 400 × 172,6 mm, con le due file di barre e il diametro equivalente ϕ_eq = Σϕ²/Σϕ = 22,7 mm. Secondo: all’appoggio vale il minimo di ε_sm, e il contributo del calcestruzzo teso non entra. Il software lo dice esplicitamente sotto la tabellina dei coefficienti.

Fig. 25 — Sezioni generiche in c.a.
scheda SLE, combinazione quasi permanente, appoggio

08 — Confronto Che cosa fa ciascuno, funzione per funzione

Il confronto che segue è fatto sulle funzioni, non sulla qualità dei risultati: dove fanno la stessa cosa, i due programmi danno gli stessi numeri.

VCA-SLU 7.8 e Sezioni generiche in c.a.

Funzione	VCA-SLU 7.8	Sezioni generiche in c.a.
Sezione per coordinate, con fori	✓	✓
Sagome predefinite (rettangolo, T, cerchio)	✓ e trapezi	✓
Import da DXF	contorno e barre	contorno, fori, barre
Armature per generatori (file, archi, perimetri)	—	✓
MRd a N assegnato, dominio M-N, pivot C	✓	✓
Flessione deviata a N assegnato	✓	✓ anche dominio 3D
Verifica di molte combinazioni insieme, con FS	una per volta	✓ SLU e SLV, da Excel
SLV in campo sostanzialmente elastico	M’yd dal M-φ, retta	✓ retta e deviata
Momento-curvatura e μφ	✓	✓
Acciaio incrudente	—	✓
Tensioni col metodo n	✓	✓ rara, freq., q.p.
Apertura delle fessure wk	—	✓ forma qualsiasi
Domini SLE (tensioni e fessure)	—	✓
Copriferro dalla Tab. C4.1.IV della Circolare	—	✓
Precompressione	✓	—
Secondo ordine (colonna modello)	✓	—
Taglio	sezione rettangolare	— ¹
Sezioni di sole barre (pali, tirafondi)	✓	—
Strutture esistenti (fattori di confidenza)	✓	—
Relazione di calcolo	stampa della finestra	tabelle verso Excel
Esportazione verso l’altro programma	—	✓ file .slu
Sviluppo	fermo dal 2021	in corso ³
Prezzo	gratuito	312 €/anno ²

¹ Il taglio delle sezioni rettangolari è in Sezioni rettangolari in c.a., gratuito. ² Con 30 giorni di prova gratuita; il resto del Toolbox è gratuito. ³ Gli utenti hanno assistenza e possono richiedere aggiornamenti personalizzati sulle funzionalità disponibili.

09 — In pratica Quale strumento, quando

La risposta onesta dipende dalla sezione e da quante combinazioni ha.

• Una sezione, poche azioni, solo SLU o tensioni. VCA-SLU basta, ed è gratuito. Lo è anche per la precompressione e la colonna modello, che Sezioni generiche in c.a. non tratta.
• Sezioni rettangolari, con taglio e fessurazione. Sezioni rettangolari in c.a. è gratuito, senza scadenza, nello stesso AMetric Toolbox: SLU, domini SLV in campo elastico, taglio con l’angolo ottimale delle bielle, tensioni e fessure.
• Sezioni di forma qualsiasi, molte combinazioni, SLV elastico in deviata, fessurazione. Qui serve Sezioni generiche in c.a.: la pila cava e la trave a T di questo articolo sono i casi per cui è nato.

Sezioni generiche in c.a. è a pagamento: 300 € all’anno per utente, con la stessa licenza che sblocca Isolatori sismici HDRB, e 30 giorni di prova gratuita con tutte le funzioni. Il resto del Toolbox, compreso il programma per le sezioni rettangolari, resta gratuito anche dopo la prova. Il modo più semplice per valutarlo è partire dai casi studio di questo articolo, oppure rifare una sezione che conoscete già, magari confrontandola con VCA-SLU grazie a «Esporta in VCA-SLU…».

10 — Domande frequenti FAQ sulla verifica di sezioni in c.a. di forma generica

VCA-SLU è aggiornato alle NTC 2018?

Sì per le verifiche di sezione: la versione 7.8, pubblicata nel 2021, ha la normativa NTC 2018 fra le scelte, insieme al D.M. 1996 e alle strutture esistenti con i fattori di confidenza. Il modulo accessorio Sismica, per i pilastri in zona sismica, fa ancora riferimento alle NTC 2008 e all’Eurocodice 8 del 2005. La 7.8 è l’ultima versione pubblicata.

VCA-SLU è gratuito?

Sì. Si scarica dalla pagina dei programmi per gli studenti del prof. Piero Gelfi, sul sito dell’Università di Brescia, insieme alla guida in PDF. Funziona su Windows.

Sezioni generiche in c.a. è gratuito?

No: è uno dei programmi a pagamento di AMetric Toolbox, 300 € all’anno per utente, con 30 giorni di prova gratuita. Nello stesso pacchetto c’è Sezioni rettangolari in c.a., gratuito e senza scadenza, che copre le sezioni rettangolari con SLU, taglio e SLE.

I due programmi danno gli stessi risultati?

Sì, entro le cifre che VCA-SLU mostra. Su dieci sezioni di prova, fra cui una T, una L e una scatolare con foro fuori centro, il momento resistente coincide entro lo 0,08 %, i domini M_x-M_y entro lo 0,3 %, i diagrammi momento-curvatura entro lo 0,4 % e le tensioni del metodo n alla quarta cifra.

Si possono aprire i file .slu di VCA-SLU?

No, ma vale il contrario: Sezioni generiche in c.a. esporta la sezione nel formato .slu e, se VCA-SLU è installato, la apre direttamente. Così si confrontano i risultati dei due programmi senza ridisegnare la sezione da zero.

Si può verificare la flessione deviata con la formula semplificata delle NTC?

La formula [4.1.19] delle NTC 2018, con l’esponente α tabellato, vale per sezioni rettangolari, circolari ed ellittiche. Per una sezione di forma qualsiasi l’esponente andrebbe ricavato con una valutazione specifica: tanto vale costruire il dominio M_x-M_y a sforzo normale costante e leggere il fattore di sicurezza direttamente.

Sezioni generiche in c.a. fa la verifica a taglio?

No. Il software copre flessione e pressoflessione, retta e deviata, allo SLU, allo SLV e in esercizio. Il taglio delle sezioni rettangolari è in Sezioni rettangolari in c.a., gratuito nello stesso AMetric Toolbox; precompressione, torsione ed effetti del secondo ordine non sono trattati.

Riferimenti

1. D.M. 17/01/2018, Aggiornamento delle «Norme tecniche per le costruzioni» — §4.1.2 Verifiche agli stati limite, §7.4 Costruzioni di calcestruzzo, §7.9 Ponti, §7.10 Costruzioni con isolamento.
2. Circolare 21/01/2019 n. 7 C.S.LL.PP., Istruzioni per l’applicazione dell’Aggiornamento delle NTC — §C4.1.2.2.4.5 e §C4.1.6.1.3.
3. UNI EN 1992-1-1:2005, Eurocodice 2 — Progettazione delle strutture di calcestruzzo — §6.1 e §7.3.4.
4. P. Gelfi, VCA-SLU — Verifica Cemento Armato Stato Limite Ultimo, versione 7.8, Università degli Studi di Brescia, 2021, e relativa guida.
5. AMetric, Sezioni rettangolari in c.a. — validazione dei risultati.

Questo articolo ha finalità informative e non sostituisce la progettazione strutturale, che resta di competenza del professionista incaricato. I casi studio sono costruiti a scopo illustrativo, e i valori numerici non sono trasferibili ad altri contesti senza verifica. VCA-SLU è un programma del prof. Piero Gelfi; le sue schermate sono riportate a scopo di confronto tecnico.